Question

如图，已知一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y=

4-2m

x

(x＞0)的图象于点A、B，交x轴于点C．若点A的坐标是（2，-4）
（1）求m的值；
（2）若

BC

AB

=

1

3

，求一次函数的解析式及点C的坐标．

Answer 1

分析：（1）将A坐标代入反比例解析式中，求出m的值即可；
（2）过A作AD⊥x轴，过B作BE⊥x轴，得到一对直角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ECB与三角形DCA相似，由相似得比例，由BC：AB=1：3，得出AD=4BE，由A的坐标得出AD的长，进而求出EB的长，确定出B的纵坐标，由m的值确定出反比例解析式，将B的纵坐标代入求出B的横坐标，确定出B的坐标，将A与B的坐标代入一次函数解析式中，确定出k与b的值，即可得出一次函数解析式，令y=0求出x的值，即可得到C的坐标．

解答：解：（1）将A的坐标代入反比例解析式得：-4=

4-2m

2

，
解得：m=6；
（2）过A作AD⊥x轴，过B作BE⊥x轴，
∵∠ADC=∠BEC=90°，∠ECB=∠DCA，
∴△ECB∽△DCA，
∴

BC

AC

=

EB

AD

=

BC

BC+AB

=

1

4

，
∴AD=4BE，
又A（2，-4），即AD=4，
∴BE=1，
将y=1代入反比例解析式中，得：-1=

-8

x

，即x=8，
∴B（8，-1），
将A（2，-4），B（8，-1）代入一次函数解析式中得：

2k+b=-4 8k+b=-1

，
解得：

k= 1 2 b=-5

则一次函数解析式为y=

1

2

x-5，
令y=0，解得：x=10，
则C（10，0）．

点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，以及待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．