Question

已知：如图，四边形ABCD中，AD⊥AB，BC⊥AB，BC=2AD，DE⊥CD交边AB于E，连接CE．
（1）求证：DE²=AE•CE；
（2）若△CDE与四边形ABCD的面积之比为2：5，求sin∠BCE的值．

Answer 1

分析：（1）∠CDE=∠A，∠DEA=∠CED对应相等，从而证明三角形相似得出结论．
（2）设S_△CDE=2S，S_梯形ABCD=5S，得出AD=

DE2-AE2

=

5

AE，BE=

CE2-BC2

=4AE，即可得出sin∠BCE=BE：CE的比值即为所求．

解答：（1）证明：过点D作DF⊥BC于F，DF交CE于G，则ADFB是矩形．
∴BF=AD，
∴CF=BC-BF=2AD-AD=AD=BF，即F是BC的中点，
∵FG∥BE，
∴FG是△CBE的中位线，
∴CG=GE，
∵∠CDE=90°，
∴DG是直角△CDE斜边上的中线，
∴DG=GE，
∴∠GDE=∠GED．
∵GD∥AB，
∴∠GDE=∠DEA．
∴∠GED=∠DEA．
又∵∠CDE=∠A=90°，
∴△DEC∽△AED．
∴DE：AE=CE：DE．
∴DE²=AE•CE．

（2）解：设S_△CDE=2S，S_梯形ABCD=5S，
由（1）知S_△DEF=2S，
又∵S_△ADF：S_△FBC=AD²：BC²=1：4，
∴S_△ADF：（S_△ADF+5S）=1：4，
∴S_△ADF=

5

3

S，
∴S_△ADE=2S-

5

3

S=

1

3

S，
∴（

AE

DE

）²=

S△ADE

S△CDE

=

1

6

，
∴DE=

6

AE，
∵CE=

DE2

AE

=6AE，
又AD=

DE2-AE2

=

5

AE，
∴BC=2

5

AE，
∴BE=

CE2-BC2

=4AE，
∴sin∠BCE=BE：CE=

2

3

．

点评：本题较难，考查了相似三角形的判定和性质，以及求三角函数值．