题目内容
如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=｜CF-EO｜，再以CM、CO为边作矩形CMNO。
（1）试比较EO、EC的大小，并说明理由；
（2）令
，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若CO=1，CE=
，Q为AE上一点且QF=
，抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式；
（4）在（3）的条件下，若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标？若不存在，请说明理由。
（1）试比较EO、EC的大小，并说明理由；
（2）令
，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若CO=1，CE=
，Q为AE上一点且QF=，抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式；（4）在（3）的条件下，若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标？若不存在，请说明理由。
| 解：（1）EO＞EC， 理由如下：由折叠知，EO=EF， 在Rt△EFC中，EF为斜边， ∴EF＞EC， 故EO＞EC； （2）m为定值， ∵S四边形CFGH=CF2=EF2-EC2=EO2-EC2=（EO+EC）（EO―EC）=CO·（EO-EC） S四边形CMNO=CM·CO=|CE-EO|·CO=（EO-EC）·CO ∴  ；（3）∵CO=1，  ∴EF=EO=  ∴cos∠FEC=  ∴∠FEC=60°， ∴  ∴△EFQ为等边三角形，  作QI⊥EO于I，EI=  ，IQ= ∴IO=  ∴Q点坐标为  ∵抛物线y=mx2+bx+c过点C（0，1），Q  ，m=1 ∴可求得  ，c=1 ∴抛物线解析式为  ；（4）由（3），  当  时， ＜AB ∴P点坐标为  ，∴BP=  AO 若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下： ①  时， ∴K点坐标为  或 ②  时， ∴K点坐标为  或 故直线KP与y轴交点T的坐标为  。 |
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在直角坐标系中，OA=6，OC=8，若将矩形折叠，使点B与O重合，得到折痕EF。 
