Question

已知直线l：y=-x+m（m≠0）交x轴、y轴于A、B两点，点C、M分别在线段OA、AB上，且OC=2CA，AM=2MB，连接MC，将△ACM绕点M 旋转180°，得到△FEM，则点E在y轴上, 点F在直线l上；取线段EO中点N,将ACM沿MN所在直线翻折，得到△PMG，其中P与A为对称点.记：过点F的双曲线为C₁，过点M且以B为顶点的抛物线为C₂，过点P且以M 为顶点的抛物线为C₃.

（1） 如图，当m=6时，①直接写出点M、F的坐标， ②求C₁、C₂的函数解析式；
（2）当m发生变化时， ①在C₁的每一支上，y随x的增大如何变化？请说明理由。
                                     ②若C₂、C₃中的y都随着x的增大而减小，写出x的取值范围。

Answer 1

解：（1）①点Ｍ的坐标为（2，4），点F的坐标为（-2，8）．
      ② 设C₁的函数解析式为（．　　　　
              ∵C₁过点F（-2，8）　　　　
              ∴C₁的函数解析式为．
               ∵C₂的顶点B的坐标是（0，6）          
              ∴设C₂的函数解析式为
              ∵C₂过点M（2，4）
           ∴        
          ∴C₂的函数解析式为；
（2）依题意得，A（m，0），B（0，m）， 
        ∴点Ｍ坐标为（），点F坐标为（，）． 
      ①设C₁的函数解析式为（．
          ∵C₁过点F（，） 
               
         ∴在C₁的每一支上，y随着x的增大而增大；
 ②答：当m＞0时，满足题意的x的取值范围为 0＜x＜； 
          当m＜0时，满足题意的x的取值范围为＜x＜0．