Question

经过x轴上A（-1，0）、B（3，0）两点的抛物线y=ax²+bx+c交y轴于点C，设抛物线的顶点为D，若以DB为直径的⊙G经过点C，求解下列问题：

（1）用含a的代数式表示出C，D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）如图，当a＜0时，能否在抛物线上找到一点Q，使△BDQ为直角三角形？你能写出Q点的坐标吗？

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为 则=a（x-1）2-4a 则点D的坐标为 点C的坐标为。
（2）过点D作DE⊥y轴于E，如图①所示： 则有△DEC∽△COB ∴ ∴ ∴a2=1，a=±1 抛物线的解析式为y=x2-2x-3或y=-x2+2x+3。
（3）a＜0时，a=-1，抛物线y=-x2+2x+3， 这时可以找到点Q，很明显，点C即在抛物线上， 又在⊙G上，∠BCD=90°，这时Q与C点重合，点Q坐标为Q（0，3） 如图②，若∠DBQ为90°，作QF⊥y轴于F，DH⊥x轴于H 可证Rt△DHB∽Rt△BFQ 有 则点Q坐标（k，-k2+2k+3） 即 化简为2k2-3k-9=0 即（k-3）（2k+3）=0 解之为k=3或k= 由k=得Q坐标：
如图③，延长DQ交y轴于M，作DE⊥y轴于E，DH⊥x轴于H 可证明△DEM∽△DHB 即 则 得 点M的坐标为 DM所在的直线方程为 则与y=-x2+2x+3的解为 得交点坐标Q为 即满足题意的Q点有三个：（0，3），。