Question

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠O）经过X轴上的两点A（x₁，0）、B（x₂，0）和y轴上的点C（0，-

3

2

），⊙P的圆心P在y轴上，且经过B、C两点，若b=

3

a，AB=2

3

，
（1）求抛物线的解析式；
（2）设D在抛物线上，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD是否经过圆心P，并说明理由；
（3）设直线BD交⊙P于另一点E，求经过E点的⊙P的切线的解析式．

Answer 1

分析：（1）把已知坐标C代入求得c=-

3

2

，又b=

3

a，AB=2

3

，ax²+

3

ax-

3

2

=0，|x₁-x₂|=2

3

求得a的值，即求出抛物线的解析式．
（2）已知D点坐标，可求直线BD的解析式，连接BP，设⊙P的半径为R，求出R，P的值即可．
（3）过点E作EF⊥y轴于F，可求得△OPB≌△FPE，求出点P的坐标．然后求得P E²=P F•PQ，根据关系求解．

解答：解：（1）∵轴上的点C（0，-

3

2

），
∴c=-

3

2

，
又∵b=

3

a，AB=2

3

，令ax²+

3

ax-

3

2

=0，|x₁-x₂|=2

3

，
解得：a=

2

3

，b=

2 3

3

；
∴抛物线的解析式是：y=

2

3

x2+

2

3

3

x-

3

2

．（4分）

（2）D（-

3

，-

3

2

），
直线B D为：y=

3

3

x-

1

2

，
连接BP，设⊙P的半径为R，
R2=(

3

2

)2+(

3

2

-R)2，R=1，P（0，-

1

2

），（7分）
点P的坐标满足直线BD的解析式y=

3

3

x-

1

2

．
∴直线B D经过圆心P．（8分）

（3）过点E作EF⊥y轴于F，得△OPB≌△FPE，
E（-

3

2

，-1），（9分）
设经过E点⊙P的切线L交y轴于点Q．
则∠P EQ=9 0°，EF⊥PQ，
∴P E²=P F•PQ，
∴PQ=2，Q（0，-2.5），（11分）
∴切线L为：y=-

3

x-2.5．（12分）

点评：本题考查的是圆的切线的有关知识，全等三角形的判定，二次函数的综合应用．难度较大．