Question

已知a是实数，函数y=（a²-1）x+a（-1≤x≤1），若|a|≤1，求证：|y|≤．

Answer 1

【答案】分析：分类讨论：当a=±1，则y=±1，得到：|y|≤；当-1＜a＜1，y随x的增大而减小，而-1≤x≤1，当x=-1，y有最大值，当x=1，y有最小值，分别得到关于a的二次函数，利用二次函数的最值问题可求出最大值为，最小值为-，都满足：|y|≤．
解答：证明：当a=±1，y=±1，则|y|＜；
当-1＜a＜1，
∴a²-1＜0，
∴y=（a²-1）x+a，y随x的增大而减小，而-1≤x≤1，
∴当x=-1，y有最大值，此时y=-a²+a+1=-（a-）²+，
即a=时，y的最大值为，满足|y|≤．
当x=1，y有最小值，此时y=a²+a-1=（a+）²-，
即a=-时，y的最小值为，满足|y|≤．
所以若|a|≤1，有|y|≤．
点评：本题考查了一次函数的增减性：y=kx+b（k≠0），当k＞0，y随x的增大而增大，k＜0，y随x的增大而减小；也考查了分类讨论思想的应用以及二次函数最值的求法．