题目内容
如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（1，0），以OA为边在第一象限内作正方形OABC，点D是x轴正半轴上一动点（OD＞1），连接BD，以BD为边在第一象限内作正方形DBFE，设M为正方形DBFE的中心，直线MA交y轴于点N．（1）△ABM与△OBD是否相似？请说明理由；
（2）点N的坐标是否随动点D的变化而变化？如不变，求出点N的坐标；如改变，请说明理由；
（3）连接NB，△DBN能否是以DN为斜边的直角三角形？如果能，请求出点E的坐标．
分析：（1）可根据正方形的性质，利用“SAS”证明相似；
（2）利用（1）中的相似三角形，证明角相等，从而可证△AON为等腰直角三角形，得出N点坐标；
（3）如果∠NBD=90°，可证△BCN≌△BAD，为求E点坐标，过E点作x轴的垂线，垂足为G，利用角的互余关系，可证△EDG≌△DBA，再求E点坐标．
（2）利用（1）中的相似三角形，证明角相等，从而可证△AON为等腰直角三角形，得出N点坐标；
（3）如果∠NBD=90°，可证△BCN≌△BAD，为求E点坐标，过E点作x轴的垂线，垂足为G，利用角的互余关系，可证△EDG≌△DBA，再求E点坐标．
解答：
解：（1）△ABM∽△OBD．
证明：∵
=
=
，
∠OBD=∠ABM=135°，
∴△ABM∽△OBD．
（2）N点的坐标不变，是N（0，-1）；
证明：∵△ABM∽△OBD，
∴∠BAM=∠BOD=45°，∠OAN=180°-∠OAB-∠BAM=45°，
∴△OAN为等腰直角三角形，可证得ON=OA=1；
（3）△DBN可以是直角三角形．
过E点作x轴的垂线，垂足为G，当∠DBN=90°时，
∵∠CBN+∠NBA=90°，∠NBA+∠ABD=90°，
∴∠CBN=∠ABD，又BC=BA，∠C=∠BAD，
∴△BCN≌△BAD，
∴AD=CN=2，
易证△EDG≌△DBA，
∴DG=AB=1，EG=AD=2，故点E的坐标是（4，2）．
解：（1）△ABM∽△OBD．证明：∵
| OB |
| AB |
| BD |
| BM |
| 2 |
∠OBD=∠ABM=135°，
∴△ABM∽△OBD．
（2）N点的坐标不变，是N（0，-1）；
证明：∵△ABM∽△OBD，
∴∠BAM=∠BOD=45°，∠OAN=180°-∠OAB-∠BAM=45°，
∴△OAN为等腰直角三角形，可证得ON=OA=1；
（3）△DBN可以是直角三角形．
过E点作x轴的垂线，垂足为G，当∠DBN=90°时，
∵∠CBN+∠NBA=90°，∠NBA+∠ABD=90°，
∴∠CBN=∠ABD，又BC=BA，∠C=∠BAD，
∴△BCN≌△BAD，
∴AD=CN=2，
易证△EDG≌△DBA，
∴DG=AB=1，EG=AD=2，故点E的坐标是（4，2）．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形，相似三角形的判定及运用，点的坐标的求法，在变中寻找不变的量．
练习册系列答案
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