题目内容

如图是用四个相同的矩形和一个正方形拼成的图案，已知此图案的总面积是49，小正方形的面积是4，x，y分别表示矩形的长和宽，那么下面式子中不正确的是

A.
x+y=7
B.
x-y=2
C.
4xy+4=49
D.
x²+y²=25

D
分析：根据大正方形的面积与小正方形的面积的表示，四个矩形的面积的和的两种不同的表示方法列式，然后整理，对各选项分析判断后利用排除法．
解答：A、∵此图案的总面积是49，
∴（x+y）²=49，
∴x+y=7，故本选项正确，不符合题意；
B、∵小正方形的面积是4，
∴（x-y）²=4，
∴x-y=2，故本选项正确，不符合题意；
C、根据题得，四个矩形的面积=4xy，
四个矩形的面积=（x+y）²-（x-y）²=49-4，
∴4xy=49-4，
即4xy+4=49，故本选项正确，不符合题意；
D、∵（x+y）²+（x-y）²=49+4，
∴2（x²+y²）=53，
解得x²+y²=26.5，故本选项错误，符合题意．
故选D．
点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，根据同一个图形的面积的不同表示方法列出算式是解题的关键．

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（2013•湖州一模）如图①是矩形包书纸的示意图，虚线是折痕，四个角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．
（1）现有一本书长为25cm，宽为20cm，厚度是2cm，如果按照如图①的包书方式，并且折叠进去的宽度是3cm，则需要包书纸的长和宽分别为多少？（请直接写出答案）．
（2）已知数学课本长为26cm，宽为18.5cm，厚为1cm，小明用一张面积为1260cm² 的矩形包书纸按如图①包好了这本书，求折进去的宽度．
（3）如图②，矩形ABCD是一张一个角（△AEF）被污损的包书纸，已知AB=30，BC=50，AE=12，AF=16，要使用没有污损的部分包一本长为19，宽为16，厚为6的字典，小红认为只要按如图②的剪裁方式剪出一张面积最大的矩形PGCH就能包好这本字典．设PM=x，矩形PGCH的面积为y，当x取何值时y最大？并由此判断小红的想法是否可行．

如图①是矩形包书纸的示意图，虚线是折痕，四个角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度.

（1）现有一本书长为25cm，宽为20cm，厚度是2cm，如果按照如图①的包书方式，并且折叠进去的宽度是3cm，则需要书包纸的长和宽分别为多少？（请直接写出答案）.
（2）已知数学课本长为26 cm，宽为18.5cm，厚为1cm，小明用一张面积为1260cm²的矩形书包纸按如图①包好了这本书，求折进去的宽度.
（3）如图②，矩形ABCD是一张一个角(△AEF)被污损的书包纸，已知AB=30，BC=50，AE=12，AF=16，要使用没有污损的部分包一本长为19，宽为16，厚为6的字典，小红认为只要按如图②的剪裁方式剪出一张面积最大的矩形PGCH就能包好这本字典. 设PM=x，矩形PGCH的面积为y，当x取何值时y最大？并由此判断小红的想法是否可行.

在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式

这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因集合直观而形象化。

【研究速算】

提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？

几何建模：

用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：

（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面。

（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40＋7＋3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40＋10）×40＋3×7＝5×4×100＋3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果。