Question

已知：关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²=0
（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；
（2）对m选取一个你喜欢的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的倒数的和．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）由判别式的意义，可知△=4（m+1）²-4m²=8m+4＜0时关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²=0没有实数根，解不等式即可求解；
（2）选m=1，根据根与系数的关系可得x₁+x₂=4，x₁x₂=1，代入

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

，计算即可求解．

解答： 解：（1）△=4（m+1）²-4m²=4（m²+2m+1）-4m²=8m+4＜0，
∴m＜-

1

2

，
故当m＜-

1

2

时，原方程没有实数根；

（2）选m=1，则原方程化为：x²-4x+1=0，
设两实数根为：x₁，x₂，
由根与系数的关系：x₁+x₂=4，x₁x₂=1，
则

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

4

1

=4．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了根与系数的关系．