题目内容

如图，若直线y=kx+b（k≠0）与x轴交于点 $数学公式$ ，与双曲线 $数学公式$ 在第二象限交于点B，且OA=OB，△OAB的面积为 $数学公式$
（1）求直线AB的解析式及双曲线的解析式；
（2）求tan∠ABO的值．

解：（1）∵直线y=kx+b（k≠0）与x轴交于点A $\text{[math]}$ ，
∴OA= $\text{[math]}$ ，
又∵OA=OB，
∴OB= $\text{[math]}$ ，
过点B作BM⊥x轴于点M，
∵△OAB的面积为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ OA•BM= $\text{[math]}$ ，
∴BM=2，在Rt△OBM中可求OM=1.5，
∴B（-1.5，2），
再根据待定系数法可得： $\text{[math]}$ ，
解得：k= $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ ，
∴直线AB的解析式为：y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ；
再将点B代入函数y= $\text{[math]}$ 得：m=- $\text{[math]}$ ，
∴双曲线的解析式为：y=- $\text{[math]}$ ；

（2）∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAM，
在Rt△ABM中，BM=2，AM= $\text{[math]}$ +2= $\text{[math]}$ ，
∴tan∠ABO=tan∠BAM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由直线y=kx+b（k≠0）与x轴交于点A $\text{[math]}$ ，可得出OA的长，再根据OA=OB，可知OB= $\text{[math]}$ ，过点B作BM⊥x轴于点M，由△OAB的面积为 $\text{[math]}$ ，可得出BM的长，在Rt△OBM中利用勾股定理可得出OM的长，进而求出B点坐标．再根据待定系数法就可以求出函数的解析式；
（2）求tan∠ABO的值，即在Rt△ABM中tan∠ABO=tan∠BAM= $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式、锐角三角函数的定义，涉及面较广，难度适中．