Question

已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，过点A作直线MN⊥AC，点P是直线MN上的一个动点(与点A不重合)，连结CP交AB于点D，设AP=，AD=．
小题1:如图1，若点P在射线AM上，求y与x的函数解析式；

小题2:射线AM上是否存在一点P，使以点D、A、P组成的三角形与△ABC相似，若存在，求AP的长，若不存在，说明理由；
小题3:如图2，过点B作BE⊥MN，垂足为E，以C为圆心、AC为半径的⊙C与以P为圆心PD为半径的动⊙P相切，求⊙P的半径

Answer 1

小题1:
小题2:当AP的长为4.5时，△ABC∽△PAD
小题3:⊙E的半径为16或.

（1）∵AM⊥AC，∠ACB=90°∴AM∥BC ∴
∵AC=6，BC=8， ∴AB=10  ∵AP=，AD=    ∴  
∴
（2）假设射线AM上存在一点P，使以点D、A、P组成的三角形与△ABC相似
∵AM∥BC     ∴∠B=∠BAE
∵∠ACB=90°  ∠APD≠90°
∴△ABC∽△PAD
∴∴   解得：4.5
∴当AP的长为4.5时，△ABC∽△PAD
（3）∵⊙C与⊙P相切，AP=
①当点P在线段AD上，⊙C与⊙P外切时，PE=， PC=
在直角三角形PAC中，    
∴   解得：   ∴⊙P的半径为.
②点P在射线MA上，当⊙C与⊙P内切时，PE=， EC=
在直角三角形PAC中，     
∴   解得：（舍去）∴⊙P的半径为16.
③点P在射线AD上，当⊙C与⊙P外切时，PE=， PC=
在直角三角形PAC中，    
∴   解得： (舍去)
当⊙C与⊙P内切时，PE=， PC=
在直角三角形PAC中，    
∴   解得：(舍去)  
∴当⊙C与⊙P相切时，⊙E的半径为16或.