Question

已知一个正多边形的一个外角等于一个内角的

2

3

，求这个正多边形的边数及其所有对角线的条数．

Answer 1

分析：多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，外角和是固定的360°，从而可根据一个正多边形的一个外角等于一个内角的

2

3

列方程，求出正多边形的边数．然后根据n边形共有

n(n-3)

2

条对角线，得出此正多边形的所有对角线的条数．

解答：解：设此正多边形为正n边形．
∵正多边形的一个外角等于一个内角的

2

3

，
∴此正多边形的外角和等于其内角和的

2

3

，
∴360°=（n-2）•180°×

2

3

，
解得n=5．
∴此正多边形所有的对线条数为：

1

2

n（n-3）=

1

2

×5×（5-3）=5．
答：正多边形的边数为5，其所有对角线有五条．

点评：本题考查正多边形的内角和与外角和及多边形的对角线公式．关键是记住内角和的公式与外角和的特征．