Question

如图，等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD=2，BC=4．点M从B点出发以每秒2个单位的速度向终点C运动；同时点N从D点出发以每秒1个单位的速度向终点A运动．过点N作NP⊥BC，垂足为P，NP=2．连接AC交NP于Q，连接MQ．若点N运动时间为t秒
（1）请用含t的代数式表示PC；
（2）求△CMQ的面积S与时间t的函数关系式，当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）过A作AE垂直x轴于E，则由等腰梯形的对称性可知BE的长，从而得出PC；
（2）可证出△AQN∽△CQP，从而求出PQ的长，则S_△CMQ=-

2

3

(t-

1

2

)2+

3

2

．再根据二次函数的性质，求得当t取

1

2

时，S有最大值．

解答：解：（1）如图，过A作AE垂直x轴于E，则由等腰梯形的对称性可知：BE=

4-2

2

=1，
当动点N运动t秒时，PC=1+t．（2分）

（2）∵AD∥BC，NP⊥BC，
∴∠ANQ=∠CPQ=90°，
又∵∠AQN=∠CQP，
∴△AQN∽△CQP，
∴

NQ

PQ

=

AN

CP

，
∴

2-PQ

PQ

=

2-t

1+t

，
∴PQ=

2+2t

3

（4分）
∵点M以每秒2个单位运动，
∴BM=2t，CM=4-2t，
S_△CMQ=

1

2

CM•PQ=

1

2

（4-2t）•

2+2t

3

，
=-

2

3

t²+

2

3

t+

4

3

，（6分）
当t=2时，M运动到C点，△CMQ不存在，
∴t≠2，
∴t的取值范围是0≤t＜2，（7分）
S_△CMQ=-

2

3

t²+

2

3

t+

4

3

=-

2

3

(t-

1

2

)2+

3

2

．
当t=

1

2

时，S有最大值，最大值是

3

2

．（8分）

点评：本题是一道综合题，考查了相似三角形的判定和性质、等腰梯形的性质以及二次函数的最值问题，是中考压轴题．