Question

如图，矩形ABCD的边AB=6cm，BC=8cm，在BC上取一点P，在CD边上取一点Q，使∠APQ成直角，设BP=x cm，CQ=y cm，试以x为自变量，写出y与x的函数关系式．并求x为何值时，y有最大值或最小值？

Answer 1

分析：根据相似三角形的判定定理AA推知△ABP∽△PCQ，然后利用相似三角形的对应边成比例知

AB

PC

=

BP

CQ

，即

6

8-x

=

x

y

，由此可以求得y与x的函数关系式y=-

1

6

（x-4）²+

8

3

，根据此函数式来求y的最值．

解答：解：∵∠APQ=90°，
∴∠APB+∠QPC=90°；
又∵∠APB+∠BAP=90°，
∴∠QPC=∠BAP，∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴

AB

PC

=

BP

CQ

，即

6

8-x

=

x

y

，
∴y=-

1

6

x²+

4

3

x，即y=-

1

6

（x-4）²+

8

3

，
∴当x=4时，y有最大值

8

3

．

点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．此题选择了配方法．