Question

如图，已知抛物线y＝x²＋3mx＋18m²－m与x轴交于A(x₁，0)、B(x₂，0)(x₁＜x₂)两点，与y轴交于点C(0，b)，O为原点．

(1)求m的取值范围；

(2)若m＞，且OA＋OB＝3OC．求抛物线的解析式及A、B、C的坐标；

(3)在(2)的情形下，点P、Q分别从A、O两点同时出发以相同的速度沿AB、OC向B、C运动，连结PQ与BC交于M．设AP＝k，问是否存在k值，使以P、B、M为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求所有k值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)依题意有： 　　Δ＝(3m)2－4×(18m2－m) 　　＝m＞0， 　　∴m＞0． 　　(2)∵m＞， 　　∴x1＋x2＝－24m＜0， 　　x1·x2＝8m(18m－1)＞0． 　　∴x1＜0，x2＜0． 　　∴b＝m(18m－1)＞0． 　　∵OA＋OB＝3OC， 　　∴－x1－x2＝3(18m2－m)， 　　即24m＝3(18m2－m)． 　　∴m＝0(舍去)或m＝． 　　∴y＝x2＋x＋4． 　　∴A(－8，0)，B(－4，0)，C(0，4)． 　　(3)当P、Q运动到适当的位置，使PO∥AC时，△ABC∽△PBM，此时有＝，即＝，解之得k＝． 　　当PQ不平行于AC，∠CAB＝∠PMB时，△ABC∽△MBP．过B作AC的垂线，D为垂足，∵sinA＝＝，∴BD＝． 　　∵∠ACB＝∠MPB．∴Rt△CDB∽Rt△POQ， 　　∴＝，即＝．显然0＜k＜4，解之得k＝2． 　　综上可知，存在k＝或2时，使得以P、B、M为顶点的三角形与△ABC相似．

提示：

本题难在第(3)小题，解此题时首先要揭示题目中一些表述的实质是什么．譬如“点P、Q分别从A、O两点同时出发，以相同的速度沿AB、OC向B、C运动”，这就是说AP＝OQ；“使P、B、M为顶点的三角形与△ABC相似”，由于∠B是两个三角形△PBM与△ABC的公共角，所以△PBM相似于△ABC．可能有下述两种情形： 　　①∠CAB＝∠MPB，此时PM∥AC，即PQ∥AC，由此得出比例式，并试求k的值． 　　②∠CAB＝∠PMB，此时可作AC的垂线BD，进而寻求适当的相似三角形，再通过比例式求k的值． 　　这里的情形②往往容易被解题者忽略，而且辅助线BD的添置也有一定的难度． 　　综合题的题目一般较长，它往往包含若干小题，涉及的知识点也较多，同学们要解好综合题，首先要有比较扎实的基本功，还要有良好的心理素质．要沉得住气，静下心来，循序渐进，这样就能取得好的成绩．