Question

已知关于x的一元二次方程x²-2kx+k²-2=0.

    (1)求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.

    (2)设x₁,x₂是方程的根,且 x₁²-2kx₁+2x₁x₂=5,求k的值.

 

Answer 1

【答案】

(1)证明见解析(2)

【解析】本题主要考查了根与系数的关系. （1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．

解：（1）已知关于x的一元二次方程x²-2kx+k²-2=0，

∴△=（-2k）²-4×（k²-2）=2k²+8，

∵2k²+8＞0恒成立，

∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根．

（2）∵x₁、x₂是方程的两个根，

∴x₁+x₂=2k，x₁•x₂=k²-2，

∴x₁²-2kx₁+2x₁x₂=x₁²-（x₁+x₂）x₁+2x₁x₂=x₁x₂=k²-2=5，

解得k=±．