Question

已知△ABC中，AB=AC=2，AB边上的高CH为

3

，正方形DEFG的DE边在BC上，F、G分别在AC、AB上，求：DE的长度．

Answer 1

分析：△ABC可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形，所以应分两种情况进行讨论；
当是锐角三角形时，即∠BAC是锐角时，可设正方形的边长为x，由△AGF∽△ABC，得出对应边成比例，进而的如求解即可，
当其为钝角三角形时，求解过程与锐角类似．

解答：解：（1）当∠BAC锐角时，如图，作BC边上的高AK，交GF于M．
AH=

AC2-CH2

=

4-3

=1，
所以AH=BH=

1

2

AB，因为CH⊥AB，
所以AB=AC=BC=2，所以AK=

3

，
设正方形边长为x，
因为FG∥BC，所以△AGF∽△ABC，
所以GF：BC=AM：AK，
所以x：2=（

3

-x）：

3

，
所以x=4

3

-6，
即正方形边长为4

3

-6；

（2）当∠BAC为钝角时，如图，作BC边上高AK，
在Rt△ACH中，AH=

AC2-CH2

=1，
所以BH=AB+AH=3，
所以Rt△BHC中，
BC=

BH2+CH2

=

9+3

=2

3

，
在Rt△ABK中，
AK=

AB2-BK2

=

AB2- 1 4 BC2

=1，
因为FG∥BC，
所以△AFG∽△ABC，
所以x=2

3

=（1-x）：1，
所以x=

12-2 3

11

，
即正方形边长为

12-2 3

11

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及勾股定理的运用，对一道题的分析应考虑全面，不能漏解．