Question

（2012•庆阳）已知关于x的方程k²x²-2（k+1）x+1=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k=1时，设所给方程的两个根分别为x₁和x₂，求

x2

x1

+

x1

x2

的值．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k²≠0且△=4（k+1）²-4k²≥0，然后解两个不等式，求出它们的公共部分即可；
（2）先把k=1代入方程，再根据根与系数的关系得到x₁+x₂=4，x₁•x₂=1，然后把所求的代数式变形得到

x2

x1

+

x1

x2

=

(x1+x2)2-2x1x2

x1•x2

，然后利用整体思想进行计算．

解答：解：（1）根据题意得k²≠0且△=4（k+1）²-4k²≥0，
解得k≥-

1

2

且k≠0；
（2）k=1时方程化为x²-4x+1=0，则x₁+x₂=4，x₁•x₂=1，

x2

x1

+

x1

x2

=

(x1+x2)2-2x1x2

x1•x2

=

16-2×1

1

=14．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．