题目内容

如图，某建筑物模型呈立方体状，棱长为13米，机器虫P从点B出发，以2米/分的速度沿棱BF、FG爬行到点G处；机器虫Q从点A出发，以3米/分的速度沿棱AB、BC、CG爬行到点G处．两机器虫同时出发，设爬行的时间为t分钟．
（1）机器虫Q爬到点C时，此时机器虫P位置在哪里？
（2）若机器虫P在棱BF上，机器虫Q在棱AB上时，求P、Q两虫距离最近时的时刻t？
（3）当7≤t≤8时，设PQ²=y，求y关于t的函数解析式．

解：（1）∵棱长为13米，机器虫P从点B出发，以2米/分的速度沿棱BF、FG爬行到点G处；机器虫Q从点A出发，
以3米/分的速度沿棱AB、BC、CG爬行到点G处．两机器虫同时出发，
∴机器虫Q爬到点C时，需要的时间为： $\text{[math]}$ 分钟，
∴此时机器虫P爬行的距离为： $\text{[math]}$ ×2= $\text{[math]}$ （m），
∵13＜ $\text{[math]}$ ＜26，
∴此时机器虫P位置在棱FG上；

（2）如图1，连接PQ，
由题意可得出：BQ=13-3t，BP=2t，
∴PQ²=（13-3t）²+（2t）²=13t²-78t+169，
当t=- $\text{[math]}$ =3（分钟）时，PQ²最小，即P、Q两虫距离最近；

（3）如图2，过点P作PN⊥BC于点N，
∵当7≤t≤8时，
∴Q在BC上，P在FG上，

设PQ²=y，
∴PN=13，FP=2t-13，
BQ=3t-13，
∴NQ=3t-13-（2t-13）=t，
∴y关于t的函数解析式为：y=t²+13²=t²+169．
分析：（1）利用两虫的爬行速度得出机器虫Q爬到点C时，P点位置即可；
（2）利用两虫的爬行速度以及结合勾股定理和二次函数最值求法求出即可；
（3）利用当7≤t≤8时两虫的位置进而利用勾股定理得出y关于t的函数解析式．
点评：此题主要考查了二次函数的应用以及勾股定理的应用，利用两虫的速度得出它们的位置进而结合勾股定理得出是解题关键．