Question

【题目】已知△ABC的外角∠EAC的平分线AD交其外接圆⊙O于点D，连接DB，DC．

（1）如图1，求证BD＝CD；

（2）如图2，若AC是⊙O的直径，sin∠BDC＝，求tan∠DBA的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）tan∠DBA＝．

【解析】

（1）根据圆周角定理可证∠DAC=∠DBC，根据圆内接四边形的性质可证∠EAD=∠DCB，又已知∠EAD=∠DAC，即∠DCB=∠DBC得证，进而证明即可；

（2）如图2，连接DO并延长交BC于F，连接OB，根据圆周角定理得到∠ABC=90°，求得sin∠BAC=，设BC=3a，AC=5a，则AB=4a，推出OD是BC的垂直平分线，得到BF=CF=a，根据三角形中位线定理得到OF=AB=2a，求得DF=DO+OF=a+2a=a，根据三角函数的定义即可得到结论．

（1）∵AD是∠EAC的平分线，

∴∠EAD＝∠DAC，

∵∠EAD是圆内接四边形ABCD的外角，

∴∠EAD＝∠DCB（圆内接四边形外角等于内对角），

又∵∠DAC＝∠DBC，

∴∠DCB＝∠DBC，

∴DB＝DC；

（2）如图2，连接DO并延长交BC于F，连接OB，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°，

∵∠BDC＝∠BAC，sin∠BDC＝，

∴sin∠BAC＝，

设BC＝3a，AC＝5a，则AB＝4a，

∵OB＝OC，BD＝CD，

∴OD是BC的垂直平分线，

∴BF＝CF＝a，

∵AO＝CO，

∴OF是△ABC斜边的中线，

∴BO＝a，

∵AO＝CO，

∴OF是△ABC的中位线，

∴OF＝AB＝2a，

∴DF＝DO+OF＝a+2a＝a，

∵∠DBA＝∠ACD，OD＝OC，

∴∠ACD＝∠FDC，

∴∠DBA＝∠FDC，

∴tan∠DBA＝tan∠FDC＝＝＝．