题目内容
如图，抛物线y=ax2+2ax+b与直线y=x+1交于A、C两点，与y轴交于B，AB∥x轴，且S△ABC=3，D、E是直线y=x+1与坐标轴的交点，（1）求抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上找出所有的点F，使△CEF与△ABD相似，直接写出它的坐标；
（3）P为x轴上一点，Q为此抛物线上一点，是否存在P，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）利用已知条件求出B，C两点的坐标，再把其横纵坐标分别代入抛物线y=ax2+2ax+b求出a和b的值即可；
（2）如图①CF⊥x轴于F，则此时△CEF和△ABD相似，②作EC⊥CF′，交x轴于F′，此时△CEF′和△ABD相似，分别写出符合题意的F的坐标即可；
（3）设P（a，0），若AC为边，则Q（a+3，3），若AC为对角线，则Q（-1-a，1），再根据已知条件求出满足题意a的值，即可求出P的坐标．
（2）如图①CF⊥x轴于F，则此时△CEF和△ABD相似，②作EC⊥CF′，交x轴于F′，此时△CEF′和△ABD相似，分别写出符合题意的F的坐标即可；
（3）设P（a，0），若AC为边，则Q（a+3，3），若AC为对角线，则Q（-1-a，1），再根据已知条件求出满足题意a的值，即可求出P的坐标．
解答：解：（1）∵对称轴为直线x=-1，
∴由对称性可得AB=2，
则BD=AB=2，
又∵D（0，1），
∴B（0，-1），A（-2，-1），
由S△ABC=3，得AB边上的高线长为3，
∴C（1，2），
把B（0，-1），C（1，2）代入抛物线得：
，
解得：a=1，b=-1，
∴抛物线的解析式为 y=x2+2x-1．
（2）符合条件的点有2个：如图①CF⊥x轴于F，则此时△CEF和△ABD相似，
∵C（1，2），
∴F（1，0），
②作EC⊥CF′，交x轴于F′，此时△CEF′和△ABD相似，
∵OD=OE=1，
EF=FF′=1+1=2，
∴F（3，0）；
（3）设P（a，0），
若AC为边，则Q（a+3，3），
∴（a+3）2+2（a+3）-1=3，
∴a1=-4+
，a2=-4-
∴P（-4+
，0）或（-4-
，0），
若AC为对角线，则Q（-1-a，1），
∴（-1-a）2+2（-1-a）-1=1，
∴a1=
，a2=-
，
∴P（
，0）或（-
，0）．
∴由对称性可得AB=2，
则BD=AB=2，
又∵D（0，1），
∴B（0，-1），A（-2，-1），
由S△ABC=3，得AB边上的高线长为3，
∴C（1，2），
把B（0，-1），C（1，2）代入抛物线得：
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解得：a=1，b=-1，
∴抛物线的解析式为 y=x2+2x-1．
（2）符合条件的点有2个：如图①CF⊥x轴于F，则此时△CEF和△ABD相似，
∵C（1，2），
∴F（1，0），
②作EC⊥CF′，交x轴于F′，此时△CEF′和△ABD相似，
∵OD=OE=1，
EF=FF′=1+1=2，
∴F（3，0）；
（3）设P（a，0），
若AC为边，则Q（a+3，3），
∴（a+3）2+2（a+3）-1=3，
∴a1=-4+
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∴P（-4+
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若AC为对角线，则Q（-1-a，1），
∴（-1-a）2+2（-1-a）-1=1，
∴a1=
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∴P（
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点评：此题考查了二次函数解析式的确定、关于x轴对称的点的坐标特征、函数图象上的点的坐标意义以及平行四边形的判定和性质等知识．（3）题中，一定要把所有的情况都考虑到，做到不漏解．
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