Question

如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD，连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N，OB=6cm，OC=8cm．
（1）求∠BOC的度数及⊙O的半径．
（2）请证明MN是⊙O的切线，并求MN的长．

Answer 1

分析：（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBF+∠OCF=90°，即∠BOC=90°，然后利用勾股定理计算出BC，再利用等积法计算出OF；
（2）由MN∥OB，而OB⊥OC，得到MN⊥OM，根据切线的判定即可得到MN为⊙O的切线；易证Rt△CMN和Rt△COB相似，利用相似比即可计算出MN的长．

解答：解：（1）∵AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，
∴OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，
又∵AB∥CD，
∴∠GCF+∠EBF=180°，
∴∠OBF+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°，
在Rt△BOC中，OB=6，OC=8，
∴BC=

OB2+OC2

=

62+82

=10，
又∵

1

2

OF•BC=

1

2

OB•OC，
∴OF=

OB•OC

BC

=

6×8

10

=4.8（cm）；

（2）证明：如图，
∵MN∥OB，OB⊥OC，
∴MN⊥OM，
∴MN为⊙O的切线，
又∵∠MCN=∠OCB，
∴Rt△CMN∽Rt△COB相似，
∴CM：OC=MN：OB，即（4.8+8）：8=MN：6，
∴MN=9.6（cm）．

点评：本题考查了切线的判定与性质定理：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心与这点的连线平分两切线的夹角．也考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质．