Question

如图，在△ABC中，过顶点B的一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，且∠C是其中一个等腰三角形的顶角．
（1）当∠C=40°时，∠ABC是多少度？说明理由；
（2）当∠C为△ABC中最小角时，那么∠A也能为另外一个等腰三角形的顶角吗？为什么？并探究∠ABC与∠C之间的数量关系．

Answer 1

分析：（1）过B作直线BE交AC于D．可以求出∠DBC和∠ADB的度数，从而求解；
（2）由于同一个三角形中内角不能存在两个钝角，反证法即可得出）∠A不能为另一等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的性质求解．

解答：解：（1）过B作直线BE交AC于D．
∵∠C为顶角，
∴∠DBC=∠CDB=

180°-40°

2

=70°，
∴∠ADB=110°，∠ABD=∠A=

180°-110°

2

=35°
∴∠ABC=35°+70°=105°．

（2）∠A不能为另一等腰三角形的顶角．
∵∠ADB=∠C+

180°-∠C

2

=90°+

1

2

∠C，
∴∠ADB为钝角，
又∵同一个三角形中内角不能存在两个钝角，
∴∠A不能为顶角．
当∠ADB为顶角时，∠ABC=∠ABD+∠DBC=

1

2

∠CDB+∠DBC=

3

2

∠CDB=135°-

3

4

∠C．

点评：考查了等腰三角形的性质，注意同一个三角形中内角不能存在两个钝角．