Question

（2012•甘孜州）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，A，B两点的坐标分别为（6，0）和（0，8），抛物线y=

1

3

x2+bx+c经过点B和G（-1，5）．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）将△ABO沿x轴左方向平移得到△DCE，使得四边形ABCD是菱形，试判断点C、点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，当△CDM面积最大时，求点M的坐标，并求出此时的最大面积．

Answer 1

分析：（1）把点B、G的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）根据点A、B的坐标求出OA、OB的长，再利用勾股定理列式求出AB，再根据菱形的四条边都相等可得BC=AD=AB，然后写出点C、D的坐标，再根据二次函数图象上点的坐标特征验证即可；
（3）利用待定系数法求出直线CD的解析式，设出过点M与CD平行的直线解析式，与抛物线解析式联立消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，然后根据方程有两个相等的实数根时点M到CD的距离最大，△CDM面积最大，从而求出点M的横坐标，再代入抛物线解析式求出点M的纵坐标，从而得解；过点M作MN⊥x轴于点N，根据S_△CDM=S_△CDE-S_梯形CENM-S_△MND列式计算即可得解．

解答：解：（1）∵抛物线y=

1

3

x²+bx+c经过点B（0，8），G（-1，5），
∴

c=8 1 3 -b+c=5

，
解得

b= 10 3 c=8

，
∴抛物线对应的函数关系式为y=

1

3

x²+

10

3

x+8；

（2）∵A（6，0），B（0，8），
∴OA=6，OB=8，
∴AB=

AB2+BC2

=

62+82

=10，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AD=AB=10，
∴点C（-10，8），D（-4，0），
当x=-10时，y=

1

3

×（-10）²+

10

3

×（-10）+8=8，
当x=-4时，y=

1

3

×（-4）²+

10

3

×（-4）+8=0，
∴点C、D在该抛物线上；

（3）设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

-10k+b=8 -4k+b=0

，
解得

k=- 4 3 b=- 16 3

，
∴直线CD的解析式为y=-

4

3

x-

16

3

，
∴设过点M与CD平行的直线解析式为y=-

4

3

x+m，
联立

y= 1 3 x2+ 10 3 x+8 y=- 4 3 x+m

，
消掉y得，x²+14x+24-3m=0，
当△=b²-4ac=14²-4×1×（24-3m）=0，
即m=-

25

3

时，方程有两个相等的实数根x₁=x₂=-

14

2×1

=-7，
此时，过点M的直线与抛物线有一个交点，点M到CD的距离最大，△CDM面积最大，
当x=-7时，y=

1

3

×（-7）²+

10

3

×（-7）+8=1，
∴点M的坐标为（-7，1），
过点M作MN⊥x轴于点N，
则S_△CDM最大=S_△CDE-S_梯形CENM-S_△MND，
=

1

2

×6×8-

1

2

×（1+8）×|（-7）-（-10）|-

1

2

×|（-4）-（-7）|×1，
=24-

27

2

-

3

2

，
=24-15，
=9．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，菱形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，（2）主要利用了菱形的四条边都相等的性质，（3）确定出过点M与CD平行的直线与抛物线只有一个交点时△CDM面积最大是解题的关键．