Question

如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，FP⊥DE于P，求证：∠DBP=∠ECP．

Answer 1

证明：连接OF，OB，OC，OC交弧EF于G，连接DF，EF，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴CE=CF，BD=BF，弧FG=弧FE，
∴∠FDE=∠COF，而∠DPF=∠OFC，
∴△DPF∽△OFC，同理△EPF∽△OFB，
∴=，=，
∴OF•PF=PD•CF=PD•CE，
OF•PF=PE•BF=PE•BD，
∴PD•CE=PE•BD，
∴=，
而∠BDP=∠CEP，
∴△BDP∽△CEP，
∴∠DBP=∠ECP．
分析：连接OF，OB，OC，OC交弧EF于G，连DF，EF，证明△DPF∽△OFC，△EPF∽△OFB，再证明△BDP∽△CEP即可证明∠DBP=∠ECP．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及三角形内切圆与内心，难度适中，关键是巧妙作出辅助线．