题目内容

如图，已知△ABC是面积为 $数学公式$ 的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于多少？（结果保留根号）．

解：∵AB=2AD，
∴ $\text{[math]}$ =2，
又∵△ABC∽△ADE，△ABC是面积为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =4，
∴S_△ADE= $\text{[math]}$ ，
∵△ABC∽△ADE，△ABC是等边三角形，
∴△ADE也是等边三角形，其面积为 $\text{[math]}$ AE•AE•sin60°= $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ AE²= $\text{[math]}$ ，
∴AE=1，
作FG⊥AE于G，
∵∠BAD=45°，∠BAC=∠EAD=60°，
∴∠EAF=45°，
∴△AFG是等腰直角三角形，
设AG=FG=h，在直角三角形FGE中，
∵∠E=60°，EG=1-h，FG=h，
∴tan∠E= $\text{[math]}$ ，即tan60°= $\text{[math]}$ ，解得h= $\text{[math]}$ ，
∴S_△AEF= $\text{[math]}$ ×1× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：先根据AB=2AD，△ABC∽△ADE，△ABC是面积为 $\text{[math]}$ 求出△ADE的面积，再判断出△ADE的形状，根据等边三角形的面积求出AE的长，作FG⊥AE于G，由等边三角形及直角三角形的性质判断出△AFG是等腰直角三角形，设AG=FG=h，在直角三角形FGE中利用锐角三角函数的定义即可求出h的值，根据三角形的面积公式即可得出结论．
点评：本题考查的是相似三角形的性质及等边三角形的判定定理、等腰直角三角形的判定，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．