题目内容

设x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+2ax+a²+4a-2=0的两实根， $数学公式$ 的最小值是________．

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分析：根据根与系数的关系得x₁+x₂=-2a，x₁•x₂=a²+4a-2，再变形得到 $\text{[math]}$ =（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，再把x₁+x₂=-2a，x₁•x₂=a²+4a-2代入得到 $\text{[math]}$ =（-2a）²-2（a²+4a-2），整理得2a²-8a+4，配方得到2（a-2）²-4，由于2（a-2）²≥0，即可得到 $\text{[math]}$ 的最小值为-4．
解答：根据题意得x₁+x₂=-2a，x₁•x₂=a²+4a-2，
$\text{[math]}$ =（x₁+x₂）²-2x₁•x₂
=（-2a）²-2（a²+4a-2）
=2a²-8a+4
=2（a-2）²-4，
∵2（a-2）²≥0，
而 $\text{[math]}$ ≥0，
∴ $\text{[math]}$ 的最小值为0．
故答案为0．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁•x₂= $\text{[math]}$ ．也考查了非负数的性质以及配方法的应用．