Question

如图1，在平面直角坐标系中，点A（4，4），点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上，S_{四边形OBAC}=16．
（1）∠COA的值为________；
（2）求∠CAB的度数；
（3）如图2，点M、N分别是x轴正半轴及射线OA上一点，且OH⊥MN的延长线于H，满足∠HON=∠NMO，请探究两条线段MN、OH之间的数量关系，并给出证明．

Answer 1

解：（1）过A作AN⊥OC于N，AM⊥OB于M，
则∠ANO=∠AMO=∠COB=90°，
∵A（4，4），
∴AN=AM=4，
∴四边形NOMA是正方形，
∴∠COA=∠COB=×90°=45°．
故答案为：45°；
（2）∵四边形NOMA是正方形，
∴AM=AN=4，OM=ON=4，
∴OC×AN+OB×AM=16，
∴OC+OB=8=ON+OM，
即ON-OC=OB-OM，
∴CN=BM，
在△ANC和△AMB中，
，
∴△ANC≌△AMB（SAS），
∴∠NAC=∠MAB，
∴∠CAB=∠CAM+∠MAB=∠NAM=360°-90°-90°-90°=90°，
即∠CAB=90°；
（3）MN=2OH，
证明：在Rt△OMH中，∠HON+∠NMO+∠NOM=90°，
又∵∠NOM=45°，∠HON=∠NMO，
∴∠HON=∠NMO=22.5°，
延长OH至点P使PH=PO，连接MP交OA于L，
∴OM=MP，∠OMP=2∠OMN=45°，
∴∠HON=∠NMO=∠LMN，
∴∠OLM=90°=∠PLO，
∴OL=ML，
在△OLP和△MLN中，

∴△OLP≌△MLN（ASA），
∴MN=OP，
∵OP=2HO，
∴MN=2HO．
分析：（1）过A作AN⊥OC于N，AM⊥OB于M，得出正方形NOMA，根据正方形性质求出∠COA=∠COB，代入求出即可；
（2）求出CN=BM，证△ANC≌△AMB，推出∠NAC=∠MAB，求出∠CAB=∠NAM，即可求出答案；
（3）求出∠HON=∠NMO=22.5°，延长OH至点P使PH=PO，连接MP交OA于L，求出∠HON=∠NMO=∠LMN，求出OL=ML，证△OLP≌△MLN，推出MN=OP，即可得出答案．
点评：本题考查了坐标与图形性质，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，题目综合性比较强，有一定的难度．