Question

如图，直线分别与两坐标轴交于A，B两点，点C从A点出发沿射线BA方向移动，速度为每秒1个单位长度．以C为顶点作等边△CDE，其中点D和点E都在x轴上．半径为的⊙M与x轴、直线AB相切于点G、F．

（1）直线AB与x轴所夹的角∠ABO＝   　   °；
（2）求当点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE与⊙M相切？

Answer 1

（1）30；（2）4或.

试题分析：（1）根据直线解析式求出OA、OB的长度，再由∠ABO的正切值，可求出∠AOB的度数：直线AB的解析式为，令x=0，则y=1，令y=0，则，∵，∴∠ABO=30°；（2）设点C移动t秒后与⊙M相切，分两种情况讨论，①当CE在⊙M左侧相切于点H；②当CE在⊙M右侧相切于点H，用含t的式子表示出CE，建立方程，解出即可得出答案.
试题解析：（1）30；
（2）设点C移动t秒后与⊙M相切，
①当CE在⊙M左侧相切于点H，如图（1），连接MF、MG、MH，
∵AB、CE、BO均为⊙M的切线，∴MF⊥AB，MH⊥CE，MG⊥BO.
∵∠ABO=30°，△CDE是等边三角形，∴∠BCE="90°." ∴四边形CHMF为矩形.
∵MF=MH，∴四边形CHMF为正方形. ∴CH=MH=.
∵EH、EG为⊙M的切线，∠CED=60°，∴∠HEM="60°." ∴.
∵，∴，解得t=4.

②当CE在⊙M右侧相切于点H（如图（2）），
由①证得：CH=MH=.
∵∠HEM=30°，∴.
∴，解得，t=．