Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（12，0）、（12，6），直线y＝－x＋b与y轴交于点P，与边OA交于点D，与边BC交于点E．
小题1:若直线y＝－x＋b平分矩形OABC的面积，求b的值；
小题2:在（1）的条件下，当直线y＝－x＋b绕点P顺时针旋转时，与直线BC和x轴分别交于点N、M，问：是否存在ON平分∠CNM的情况？若存在，求线段DM的长；若不存在，请说明理由；
小题3:在（1）的条件下，将矩形OABC沿DE折叠，若点O落在边BC上，求出该点坐标；若不在边BC上，求将（1）中的直线沿y轴怎样平移，使矩形OABC沿平移后的直线折叠，点O恰好落在边BC上

Answer 1

 
小题1:∵直线y＝－x＋b平分矩形OABC的面积，∴其必过矩形的中心
由题意得矩形的中心坐标为（6，3），∴3＝－×6＋b
解得b＝12 4分

小题2:假设存在ON平分∠CNM的情况
①当直线PM与边BC和边OA相交时，过O作OH⊥PM于H
∵ON平分∠CNM，OC⊥BC，∴OH＝OC＝6
由（1）知OP＝12，∴∠OPM＝30°
∴OM＝OP·tan30°＝
当y＝0时，由－x＋12＝0解得x＝8，∴OD＝8
∴DM＝8－ ···················· 6分
②当直线PM与直线BC和x轴相交时
同上可得DM＝8＋（或由OM＝MN解得） 8分
小题3:假设沿DE将矩形OABC折叠，点O落在边BC上O′处连结PO′、OO′，则有PO′＝OP

由（1）得BC垂直平分OP，∴PO′＝OO′
∴△OPO′为等边三角形，∴∠OPD＝30°
而由（2）知∠OPD＞30°
所以沿DE将矩形OABC折叠，点O不可能落在边BC上 ··········· 9分
设沿直线y＝－x＋a将矩形OABC折叠，点O恰好落在边BC上O′处
连结P′O′、OO′，则有P′O′＝OP′＝a
由题意得：CP′＝a－6，∠OPD＝∠AO′O
在Rt△OPD中，tan∠OPD＝
在Rt△OAO′中，tan∠AO′O＝
∴＝，即＝，AO′＝9
在Rt△AP′O′中，由勾股定理得：(a－6)²＋9²＝a²
解得a＝，12－＝

所以将直线y＝－x＋12沿y轴向下平移个单位得直线y＝－x＋，将矩形OABC沿直线y＝－x＋折叠，点O恰好落在边BC上    12分

 略