Question

【题目】矩形，，，，（），以为旋转中心顺时针旋转矩形，得到矩形．

（1）如图1，当点落在边上时，求的长；

（2）如图2，当时，矩形的对角线交矩形的边于点，连结，若是等腰三角形，求直线的解析式．

（3）如图3，当时，矩形的对称中心为点．的面积为，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）如图1，当点D落在边BC上时，BD2＝AD2AB2，即可求解；

（2）分CG＝EG、CE＝GE、CE＝CG三种情况分别求解；

（3）根据MN≤MA＋AD，当射线DA经过点M时，MN＝MA＋AD＝，的最大值是，当边AD经过点M，即P与M重合时，MN＝PD，MN＝PD＝ADAP＝4＝，的最小值是，故可求解．

解：(1) 如图1，在矩形ABCO中，∠B =90°

当点D落在边BC上时，BD2=AD2-AB2

∵C(0，3)，A(，0)

∴AB=OC=3，AD=AO=

∴

(2) 如图2， 连结AC，

∵=3

∴OA=OC=3

∴矩形ABCO是正方形

∴∠BCA =45°

设∠ECG的度数为，

∴AE=AC

∴∠AEC =∠ACE=

①当CG=EG时，=

解得，不合题意，舍去

②当CE=GE时，∠ECG =∠EGC=

∵∠ECG+∠EGC+∠CEG=

∴，

解得

∴∠AEC =∠ACE=，不合题意，舍去

③当CE=CG时，∠CEG =∠CGE=

∵∠ECG+∠EGC+∠CEG=

∴，

解得

∴∠AEC =∠ACE=75°，∠CAE=30°

如图3，连结OB，交AC于点Q，过E作EH⊥AC于H，连结BE

∴EH=AE=AC，BQ=AC

∴EH=BQ ，EH∥BQ且∠EHQ=90°

∴四边形EHQB是矩形

∴BE∥AC

设直线BE的解析式为

∵点B（3，3）在直线上

∴6

∴直线BE的解析式为；

(3)如图4，∵=4，点M是矩形ABCO的对称中心

∴AO=4，AM=

以A为圆心，分别以AO、AM为半径作圆，AD交小圆于P，

过M作MN⊥ED于N

∴DE切大圆于D

∴MN≥PD

根据“垂线段最短”，MN≤MA+AD，

如图5，当射线经过点M时，MN=MA+AD=

∴的最大值是

如图6，当边AD经过点M，即P与M重合时，MN=PD，

∴的最小值是

综上，的取值范围是．