Question

如图，抛物线y=-

1

2

x²+

3

2

x+2交x轴于A、B两点，交y轴于点C．
（1）求证：△ABC为直角三角形；
（2）在y轴上找点P，连接PB，若△PBC为等腰三角形，求：点P的坐标；
（3）在抛物线BC上取点E，连接CE和BE，△BCE的面积是否存在最大值？若存在，求出点E的坐标及△BCE的最大面积．

Answer 1

分析：（1）求得AC、BC、AB长，利用勾股定理的逆定理求得∠ACB=90°，或者利用△AOC∽△COB求证．
（2）应分PB=BC，PC=BC，PC=PB三种情况进行解答．
（3）用一个字母设出点E坐标，表示出△BCE的面积．利用二次函数求出最值即可．

解答：解：（1）可得A（-1，0），B（4，0），C（0，2）
由AC²+BC²=AB²，得△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形．
也可由△AOC∽△COB得出结果．

（2）存在四个点（0，-2）；（0，-3）；（0，-2

5

+2），（0，2

5

+2）；

（3）设E点坐标（m，-

1

2

m²+

3

2

m+2），
过E作ED⊥x轴交轴于点D，交BC于点F，
由△BDF∽△BOC得DF=2-

m

2

，
EF=DE-DF=-

1

2

m²+2m，
S_△BCE=S_△CEF+S_△BEF=

1

2

EF•OD+

1

2

EF•BD=

1

2

EF•OB=-（m-2）²+4，
∴最大面积为4．
此时E（2，3）．

点评：本题考查了勾股定理的逆定理的运用，等腰三角形的性质，以及二次函数最值的运用等知识点．