Question

【题目】如图，点P是反比例函数上第一象限上一个动点，点A、点B为坐标轴上的点，A（0，k），B（k，0）．已知△OAB的面积为．

（1）求k的值；

（2）连接PA、PB、AB，设△PAB的面积为S，点P的横坐标为t．请直接写出S与t的函数关系式；

（3）阅读下面的材料回答问题：

当a＞0时，

∵≥0，∴≥2，即≥2

由此可知：当=0时，即a=1时，取得最小值2．

问题：请你根据上述材料探索（2）中△PAB的面积S有没有最小值？若有，请直接写出S的最小值；若没有，说明理由．

Answer 1

【答案】(1) 1 (2) S=；(3)

【解析】

（1）由双曲线过一三象限，则k>0，有三角形面积公式可求得k值；

（2）过点P作PH⊥x轴于H，过点P作PG⊥y轴于G，连接OP，如图2．运用割补法就可解决问题；

（3）可借鉴阅读材料的经验，运用配方法就可解决问题．

（1）由图象可知：2k＞0，即k＞0，

则S△OAB=OBOA=k2=，

解得：k1=1，k2=-1，

∵k＞0，

∴k=1；

（2）过点P作PH⊥x轴于H，过点P作PG⊥y轴于G，连接OP，如图2，

∵xP=t，

∴yP=，

∴PG=t，PH=，

则S=S四边形OAPB-S△OAB=S△OAP+S△OBP-S△OAB=OAPG+OBPH-=×1×t+×1×-=+-，

∵点P在第一象限，

∴t＞0，

∴S关于t的函数关系式为S=+-，t/span>的取值范围为t＞0；

（3）S=+-=（t+-1）=（t+-2+2-1）=[（-）2+2-1]=（-）2+-．

∴当=即t=时，S取到最小值，最小值为-．