Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=. 点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.

（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1． 设，则k =        ；

（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE-DE=2CF；

（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．

 

Answer 1

 解：（1）k=1；                              ……………………….……………………………1分

（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q.

由题意，tan∠BAC=，

∴ .

∵ D、E、B三点共线，

∴ AE⊥DB.

∵ ∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°,

∴ ∠QBC=∠EAQ.

∵ ∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，

∴ ∠ECA=∠BCG.   

∴ .

∴ .

∴ GB=DE.

∵ F是BD中点，

∴ F是EG中点.

在中，,

∴ .             .…………………………….……………………………4分

（3）情况1：如图，当AD=时，取AB的中点M，连结MF和CM，

∵∠ACB=90°， tan∠BAC=，且BC= 6,

∴AC=12，AB=.

∵M为AB中点，∴CM=,

∵AD=，

∴AD=.

∵M为AB中点，F为BD中点，

∴FM== 2.

∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=.

.…………………………….……………………………5分

情况2：如图，当AD=时，取AB的中点M，

连结MF和CM，

类似于情况1，可知CF的最大值为.             

………….……………………………6分

综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的

三等分点时，线段CF的长度取得最大值为.