Question

(本小题满分12分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知，，△ABC的面积，抛物线
经过A、B、C三点。

【小题1】(1)求此抛物线的函数表达式；
【小题2】(2)设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
【小题3】(3)在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【小题1】解：（1）∵，设，则
∴
又，∴
∵
∴，即。
而，∴。
∴,
∴△ABC三个顶点的坐标分别是
,,
∵抛物线经过A、B、C三点，
∴设，把代入得

∴此抛物线的函数表达式为
【小题2】（2）设点E的坐标为，
∵点E在Y轴右侧的抛物线上，∴。
有抛物线的对称性，知点F与点E关于抛物线的对称轴x=2对称，
易得点F的坐标为。
要使矩形EFGH能成为正方形，有,
则
∴ ①
或 ②
由①得，，解得（舍去）
由②得，，解得（舍去）
当时，
此时正方形EFGH的边长为。
当时，
此时正方形EFGH的边长为。
∴当矩形EFGH为正方形时，该正方形的边长为或
【小题3】（3）假设存在点M，使△MBC中BC边上的高为。
∴M点应在与直线BC平行，且相距的两条平行直线和上。
由平行线的性质可得：和与y轴的交点到直线BC的距离也为。
如图，设与y轴交于P点,过P作PQ与直线BC垂直，垂足为点Q，
∵，
∴∠OBC=∠OCB=45°
在Rt△PQC中，，∠PCQ=∠OCB=45°
∴由勾股定理，得
∴直线与y轴的交点坐标为P(0,9)
同理可求得：与y轴交点坐标为，
易知直线BC的函数表达式。
∴直线和的函数表达式分别为。
根据题意，列出方程组：①，②
由①得，，解得；
由②得，
∵△="-31<0"
∴此方程无实数根。
∴在抛物线上存在点M，使△MBC中BC边上的高为，其坐标分别为：

另解：易求直线BC的表达式为：
整理得
设
由点到直线的距离得

解得

解析