Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．
（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；
（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？

Answer 1

解：（1）由题意知CQ=4t，PC=12-3t
∴S_△PCQ=PC•CQ=-6t²+24t
∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称
∴y=2S_△PCQ=-12t²+48t．

（2）当时，有PQ∥AB，而AP与BQ不平行，这时四边形PQBA是梯形
∵CA=12，CB=16，CQ=4t，CP=12-3t
∴
解得t=2
∴当t=2秒时，四边形PQBA是梯形．
分析：（1）根据折叠的性质可知：四边形PCQD的面积是△PCQ面积的2倍，因此只要求出△PCQ的面积即可得出四边形PCQD的面积．可根据P、Q的速度用时间t表示出PC和CQ的长，然后根据三角形的面积公式即可得出△PCQ的面积表达式，也就能求出y，t的函数关系式．
（2）当四边形PQBA是梯形时，PQ∥AB，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于PC，AC，CQ，CB的比例关系式，根据这个等量关系即可求出t的值．
点评：本题主要考查了直角三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、梯形的判定、二次函数的应用等知识点．