Question

正整数a，b，c，d满足a＜b＜c＜d，且ab+bc+ac=abc=d，则d=

 

．

Answer 1

分析：首先由ab+bc+ac=abc，可得

1

c

+

1

b

+

1

a

=1，又由正整数a，b，c满足a＜b＜c，即可得1＜a＜b＜c，

1

a

＞

1

b

＞

1

c

，根据不等式的性质，可得

1

a

+

1

b

+

1

c

＜

3

a

，即可得

3

a

＞1，则可求得a的值，同理可求得b与c的值，继而求得d的值．

解答：解：∵ab+bc+ac=abc，
∴

1

c

+

1

b

+

1

a

=1，
∵0＜a＜b＜c，
∴1＜a＜b＜c，
∴

1

a

＞

1

b

＞

1

c

，
∴

1

a

+

1

b

+

1

c

＜

3

a

，
即

3

a

＞1，
∴a＜3，
∵a＞1，
∴a=2，
∴

1

b

+

1

c

=

1

2

，
∵

1

c

＜

1

b

，
则

2

b

＞

1

2

，
即b＜4，
∵b＞a=2，
∴b=3，
∴

1

c

=1-

1

2

-

1

3

=

1

6

，
∴c=6．
∴a=2，b=3，c=6．
∴d=abc=2×3×6=36．
故答案为：36．

点评：此题考查了数的整除性问题．此题难度较大，解题的关键是将ab+bc+ac=abc，变形为

1

c

+

1

b

+

1

a

=1，然后根据不等式的性质求解．