Question

【题目】直线与直线垂直相交于，点在射线上运动，点在射线上运动，连接．

（1）如图1，已知，分别是和角的平分线，

①点，在运动的过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出的大小．

②如图2，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则_______；如图3，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则________．

（2）如图4，延长至，已知，的角平分线与的角平分线交其延长线交于，，在中，如果有一个角是另一个角的倍，求的度数．

Answer 1

【答案】（1）∠ACB的大小不会发生变化，∠ACB=45°；（2）30，60；（3）60°或72°．

【解析】

（1）①由直线MN与直线PQ垂直相交于O，得到∠AOB=90°，根据三角形的外角的性质得到∠PAB+∠ABM=270°，根据角平分线的定义得到∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，于是得到结论；

②图2中，由于将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，得到∠CAB=∠BAQ，由角平分线的定义得到∠PAC=∠CAB，根据三角形的内角和即可得到结论；

图3中，根据将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，得到∠ABC=∠ABN，由于BC平分∠ABM，得到∠ABC=∠MBC，于是得到结论；

（2）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的倍分情况进行分类讨论即可解答．

（1）①∠ACB的大小不变，

∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，

∴∠AOB=90°，

∴∠OAB+∠OBA=90°，

∴∠PAB+∠ABM=270°，

∵AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，

∴∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，

∴∠BAC+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，

∴∠ACB=45°；

②∵图2中，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，

∴∠CAB=∠BAQ，

∵AC平分∠PAB，

∴∠PAC=∠CAB，

∴∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°，

∵∠AOB=90°，

∴∠ABO=30°，

∵图3中，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，

∴∠ABC=∠ABN，

∵BC平分∠ABM，

∴∠ABC=∠MBC，

∴∠MBC=∠ABC=∠ABN，

∴∠ABO=60°，

故答案为：30，60；

（2）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，

∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，

∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，

∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，

∴∠EAF=90°．

在△AEF中，

∵有一个角是另一个角的倍，故有：

①∠EAF=∠E，∠E=60°，∠ABO=120°（不合题意，舍去）；

②∠EAF=∠F，∠E=30°，∠ABO=60°；

③∠F=∠E，∠E=36°，∠ABO=72°；

④∠E=∠F，∠E=54°，∠ABO=108°（不合题意，舍去）；．

∴∠ABO为60°或72°．