Question

如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过O 作OE ⊥AC 于点E ，过点A 作⊙O 的切线交OE 的延长线于点F ，连结CF 并延长交BA 的延长线于点P。
（1）求证：PC是⊙O的切线。
（2）若AF=1，OA=，求PC的长。

Answer 1

解：（1）证明：连结OC
∵OE⊥AC
∴AE=CE
∴FA=FC
∴∠FAC=∠FCA
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA
即∠FAO=∠FCO
∵FA与⊙O相切，且AB是⊙O的直径
∴FA⊥AB
∴∠FCO=∠FAO=90°
∴PC是⊙O的切线

（2）∵PC是⊙O的切线
∴∠PCO=90°
而∠FPA=∠OPC∠PAF=90°
∴△PAF∽△PCO
∴
∵CO=OA=，AF=1
∴PC=PA
设PA=x，则PC=x
在Rt△PCO中，由勾股定理得

解得：
∴PC=