Question

已知△ABC中，∠ABC=90゜，AB=BC，点A、B分别是x轴和y轴上的一动点．
（1）如图1，若点C的横坐标为4，求点B的坐标；

（2）如图2，BC交x轴于D，AD平分∠BAC，若点C的纵坐标为3，A（5，0），求点D的坐标．

（3）如图3，分别以OB、AB为直角边在第三、四象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，EF交y轴于M，求 S_△BEM：S_△ABO．

Answer 1

（1）如图1，作CM⊥y轴于M，则CM=4，
∵∠ABC=∠AOB=90゜，∴∠CBM+∠ABO=90°，∠ABO+∠OAB=90°，

∴∠CBM=∠BAO，
在△BCM和△ABO中∴△BCM≌△ABO（AAS），

∴OB=CM=4，∴B（0，-4）．（2分）
（2）如图2，作CM⊥x轴于M，交AB的延长线于N，
则∠AMC=∠AMN=90°，∵点C的纵坐标为3，∴CM=3，
∵AD平分∠CAB，∴∠CAM=∠NAM，∴在△CAM和△NAM中

∴△AMC≌△AMN（ASA），∴CM=MN=3，∴CN=6，
∵CM⊥AD，∠CBA=90°，∴∠CBN=∠CMD=∠ABD=90°，
∵∠CDM=∠BDA，∠CMD+∠CDM+∠NCB=180°，∠BDA+∠BAD+∠DBA=180°，
∴∠NCB=∠BAD，在△CBN和△ABD中∴△CBN≌△ABD（ASA），
∴AD=CN=2CM=6，∵A（5，0），∴D（-1，0）．（4分）
（3）如图3，作EN⊥y轴于N，
∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，
∴∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠NBE=∠BAO，
在△ABO和△BEN中
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴△ABO的面积=△BEN的面积，OB=NE=BF，
∵∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，
∴在△BFM和△NEM中
∴△BFM≌△NEM（AAS），
∴BM=NM，
∵△BME边BM上的高和△NME的边MN上的高相等，
∴S_△BEN=S_△BEM=S_△BEN=S_△ABO，
即S_△BEM：S_△ABO=1：2．（5分）