Question

（2011•锦江区模拟）已知：如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C．
①求证：AB=AC；
②若tan∠ABE=

1

2

（ⅰ）求

AB

BC

的值．
（ⅱ）求当AC=2时，AE的长．

Answer 1

分析：①由BE为圆O的切线，BA为圆的弦，即∠EAB为圆弦切角，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角，可得出∠EBA=∠C，根据已知的∠EBC=2∠C，得到∠ABC=∠C，根据等角对等边可得出AB=AC，得证；
②（i）连接OA，由AB=AC，根据等弦对等劣弧得到A为弧BC的中点，根据垂径定理的逆定理得到OA垂直于BC，D为BC的中点，再由∠EBA=∠C，由tan∠EBA的值得到tanC的值，即为tan∠ABC的值，在直角三角形ABD中，根据锐角三角函数定义得出AD与BD的比值，设AD=k，则有BD=2k，利用勾股定理表示出AB，再由BC=2BD，表示出BC，即可求出AB与BC的比值；
（ii）在△ADC中，由tanC的值，及锐角三角函数定义，设AD=x，则有CD=2x，由AC=2，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出BC的长，再由∠EBA=∠C，以及一对公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ABE与△BCE相似，由相似得比例，将AB及BC的值代入，用EC表示出BE，再由BE²=AE•CE，由CE=AE+AC，并将AC及表示出的BE代入，得出关于AE的方程，求出方程的解即可得到AE的长．

解答：解：①∵BE为圆O的切线，BA为圆的弦，
∴∠EBA为弦切角，
∴∠EBA=∠C，又∠EBC=2∠C，
∴∠EBC=2∠EBA，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC；

②（i）连接OA．
∵AB=AC，∴

AB

=

AC

，
∴OA⊥BC，
∴D为BC的中点，即BD=CD，
∵tan∠ABE=

1

2

，∠EBA=∠ABC，
∴tan∠ABC=

1

2

，
在Rt△ABD中，tan∠ABC=

AD

BD

=

1

2

，
设AD=k，则BD=2k，BC=4k，
在△ABD中，∠ADB=90°，根据勾股定理得：AB=

BD2+AD2

=

5

k，
则

AB

BC

=

5 k

4k

=

5

4

；

（ii）在Rt△ADC中，AC=AB=2，tan∠ABE=tanC=

AD

DC

=

1

2

，
设AD=x，DC=2x，根据勾股定理得：x²+（2x）²=2²，
解得：x=

2 5

5

，
∴BC=2DC=4x=

8 5

5

，
∵∠EBA=∠C，∠E=∠E，
∴△AEB∽△BEC，
∴

AE

BE

=

BE

EC

=

AB

BC

=

2

8 5 5

=

5

4

，
∴BE=

4 5

5

AE，
又∵

AE

BE

=

BE

EC

，即BE²=AE•CE，
∴（

4 5

5

AE）²=AE（AC+AE）=AE（2+AE），
整理得：

16

5

AE²=2AE+AE²，
解得：AE=

10

11

．

点评：此题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，弦、圆心角及弧之间的关系，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．