题目内容
梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=α（0°＜α＜90°），AB=DC=3，BC=5．点P为射线BC上动点（不与点B、C重合），点E在直线DC上，且∠APE=α．记∠PAB=∠1，∠EPC=∠2，BP=x，CE=y．
（1）当点P在线段BC上时，写出并证明∠1与∠2的数量关系；
（2）随着点P的运动，（1）中得到的关于∠1与∠2的数量关系，是否改变？若认为不
改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的x的取值范围；
（3）若cosα=
，试用x的代数式表示y．
（1）当点P在线段BC上时，写出并证明∠1与∠2的数量关系；
（2）随着点P的运动，（1）中得到的关于∠1与∠2的数量关系，是否改变？若认为不
改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的x的取值范围；（3）若cosα=
| 1 | 3 |
分析：（1）∠APC是△ABP的外角，根据外角等于不相邻的两个内角之和易得∠1=∠2；
（2）当BP＞5时，∠1与∠2的数量关系显然会改变．根据三角形内角和定理得新的关系；
（3）分两种情形分别求解．①当点P在线段BC上时，根据△ABP∽△PCE得关系求解；②当点P在线段BC的延长线上时，根据△EPC∽△EGP得关系求解．
（2）当BP＞5时，∠1与∠2的数量关系显然会改变．根据三角形内角和定理得新的关系；
（3）分两种情形分别求解．①当点P在线段BC上时，根据△ABP∽△PCE得关系求解；②当点P在线段BC的延长线上时，根据△EPC∽△EGP得关系求解．
解答：
（1）∠1=∠2
证明：∵∠APC=∠ABC+∠1，又∠APC=∠APE+∠2，
∴∠ABC+∠1=∠APE+∠2，
∵∠ABC=α=∠APE，∴∠1=∠2
（2）会改变，当点P在BC延长线上时，即x＞5时
∠1与∠2的数量关系不同于（1）的数量关系．
解：∵∠APE=α=∠ABC，∴∠APB=α-∠2，-------------------（1分）
∵∠ABC+∠BAP+∠APB=180°，∴α+∠1+α-∠2=180°，----（1分）
∴∠1-∠2=180°-2α．-------------------------------------------------（1分）
（3）①当点P在线段BC上时，
∵∠1=∠2，∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCE，-------------------------------------------------------（1分）
∴
=
，------------------------------------------------------------（1分）
即
=
，∴y=
x-
x2．------------------------------------（2分）
②当点P在线段BC的延长线上时，
可得△EPC∽△EGP，∴EP2=EC•EG--------------------------（1分）
作AM∥CD．
∵AB=3，cosα=
，
∴BM=2．
∴GC=
(x-5)
作EK⊥BP，由cosα=
得CK=
y，KE=
y，∴KP=x-5-
y
∴EP2=(
y)2+(x-5-
y)2，
于是y(y+
)=(
y)2+(x-5-
y)2
即y2+
(x-5)y=
y2+(x-5)2-
(x-5)y+
y2
亦即y=
-----------------------------------------------（2分）
（1）∠1=∠2证明：∵∠APC=∠ABC+∠1，又∠APC=∠APE+∠2，
∴∠ABC+∠1=∠APE+∠2，
∵∠ABC=α=∠APE，∴∠1=∠2
（2）会改变，当点P在BC延长线上时，即x＞5时
∠1与∠2的数量关系不同于（1）的数量关系．
解：∵∠APE=α=∠ABC，∴∠APB=α-∠2，-------------------（1分）
∵∠ABC+∠BAP+∠APB=180°，∴α+∠1+α-∠2=180°，----（1分）
∴∠1-∠2=180°-2α．-------------------------------------------------（1分）
（3）①当点P在线段BC上时，
∵∠1=∠2，∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCE，-------------------------------------------------------（1分）
∴
| AB |
| PC |
| BP |
| CE |
即
| 3 |
| 5-x |
| x |
| y |
| 5 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
②当点P在线段BC的延长线上时，
可得△EPC∽△EGP，∴EP2=EC•EG--------------------------（1分）
作AM∥CD．
∵AB=3，cosα=
| 1 |
| 3 |
∴BM=2．
∴GC=
| 3 |
| x-2 |
作EK⊥BP，由cosα=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴EP2=(
2
| ||
| 3 |
| 1 |
| 3 |
于是y(y+
| 3(x-5) |
| x-2 |
2
| ||
| 3 |
| 1 |
| 3 |
即y2+
| 3 |
| x-2 |
| 8 |
| 9 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 9 |
亦即y=
| 3x2-21x+30 |
| 2x+5 |
点评：此题考查梯形中有关相似三角形的判定和性质的综合应用，特别是动态问题综合性强，难度大．
练习册系列答案
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如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．
DE．
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如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，AD=6，BC=12，点E在AD边上，且AE：ED=1：2，点P是AB边上的一个动点，（P不与A，B重合）过点P作PQ∥CE交BC于点Q，设AP=x，CQ=y，则y与x之间的函数关系是
分别交边CD、BC于点F、E，若AD=3，BC=12，