Question

已知M，N为正整数，并且A=（1-

1

2

）（1+

1

2

）（1-

1

3

）（1+

1

3

）…（1-

1

m

）（1+

1

m

），B=（1-

1

2

）（1+

1

2

）（1-

1

3

）（1+

1

3

）…（1-

1

n

）（1+

1

n

）．
证明：（1）A=

m+1

2m

，B=

n+1

2n

．
（2）A-B=

1

26

，求m和n的值．

Answer 1

分析：（1）每个括号的结果都是一个分数，这几个分数相乘后，只剩下第一个和最后一个分数没有化简，相乘即可，依此方法可得B的值；
（2）根据（1）得到的规律，得到关于m，n的式子，易得m，n中有一个是13的倍数，根据互质的原则判断出相应的整数解即可．

解答：解：（1）原式=

1

2

×

3

2

×

4

3

×

3

4

×…×

m-1

m

×

m+1

m

=

1

2

-

m+1

m

=

m+1

2m

；
同理得B=

n+1

2n

；
（2）∵A-B=

1

26

，
∴

m+1

2m

-

n+1

2n

=

1

26

，
∴

n-m

mn

=

1

13

，
∵m，n均为正整数，
∴n＞m，
∵n-m与mn互质，13又是质数，
∴m，n中至少有一个是13的倍数，设n=13k（k∈N⁺）
∴

13k-m

13km

=

1

13

，
13k-m=km，
m=

13k

k+1

=

13(k+1)-13

k+1

=13-

13

k+1

，
∵k与k+1互质，m∈N⁺，
∴有k+1整除13，得到：k=12，
∴n=13×12=156，m=12，
当m=13k时，n=

13k

1-k

＜0（k∈N⁺），矛盾．
∴n=156，m=12．

点评：考查数字的变化规律及应用规律进行计算；判断出各个数相乘的结果最后只剩第一个分数与最后一个分数相乘，是解决本题的突破点；判断出m，n中有一个数是13的倍数是解决本题的难点．