Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；③BE+DC=DE；④BE²+DC²=DE²；⑤∠ADC=22.5°，其中正确的是（　　）

A、①③④

B、③④⑤

C、①②④

D、①②⑤

Answer 1

分析：①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，因为∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°=∠DAE，由此即可证明△AEF≌△AED；
②根据旋转的性质，△ADC≌ABF，进而得出△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；
③根据①知道△ADE≌△AFE，得CD=BF，DE=EF；由此即可确定说法是否正确；
④据①BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根据勾股定理判断．
⑤可以利用①②④正确，利用答案中没有更多正确答案，得出⑤错误．

解答：解：①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠CAD+∠BAE=45°．
∴∠EAF=45°，
∴△AEF≌△AED；
故①正确；

②∵根据旋转的性质，∴△ADC≌ABF，
∴△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；
故此选项正确；

③根据①知道△ADE≌△AFE，得CD=BF，DE=EF，
∴BE+DC=BE+BF＞DE=EF，
 故③错误；

④∵∠FBE=45°+45°=90°，
∴BE ²+BF ²=EF ²，
∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴△AFB≌△ADC，
∴BF=CD，
又∵EF=DE，
∴BE ²+CD ²=DE ²，故④正确．

⑤∵可以利用①②④正确，利用答案中没有更多正确答案，得出⑤错误．
故正确的有：①②④．
故选C．

点评：此题主要考查了图形的旋转变换以及全等三角形的判定等知识，解题时注意旋转前后对应的相等关系．