Question

如下图，AB是半圆O的直径，⊙O1与半圆内切于点M，并与AB相切于点C，MB交⊙O1于另一点N，过N作AB的垂线，垂足于E，交半圆于点D． 求证： (1) BN·BM=BE·BA (2) BC=BD (3) DE是⊙O1的切线

Answer 1

答案：
解析：

(1)	连接AM 　　∵AB是半圆O的直径，∴∠BMA=90° 　　又∵DE⊥AB，∠ABM=∠NBE， 　　∴Rt△ABM∽Rt△NBE 　　∴，即BN·BM=BE·BA
(2)	连接AD，BD（如下图） 　　∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90° 　　又因∵DE⊥AB，∴BD2=BE·BA 　　∵BC是⊙O1的切线，∴BC2=BN·BM 　　由（1）知BN·BM=BE·BA，∴BC2=BD2，即BC=BD
(3)	连接O1N和OM（如下图），则OM过点O1， 　　∵OB=OM，O1N=O1M，∴∠MNO1=∠NMO1=∠MBO 　　∴O1N∥OB 　　而DE⊥OB，∴OE⊥O1N 　　∵O1N是 ⊙O1的半径，∴DE是⊙O1的切线