Question

【题目】如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动，过点作交边或边于点，点是射线边上一点，总保持，以、为邻边构造矩形，设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为．

（1）用含的式子表示线段的长；

（2）当点落在上时，求的值；

（3）当矩形与重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式；

（4）点与点同时出发，在线段上以每秒5个单位长度的速度沿往返一次，连结、，直接写出矩形的面积是的面积的2倍时的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）当时，；当时，；（4），，．

【解析】

（1）由题意可知：，PB=3t，据此解答即可；

（2）先根据勾股定理求出AC的长，当点落在上时，如图1，在Rt△DPB中先利用∠A的正切用含t的代数式表示出DP，即为EF，再在Rt△AEF中利用三角函数的知识用含t的关系式表示出AE，由AE+EP+PB=5可得关于t的方程，解方程即得结果；

（3）当时，根据（2）题的结果利用三角形的面积公式直接解答即可；当C、D重合时，如图2，当A、E两点重合时，如图3，分别求出这两种情况t的值，进而可得矩形与重叠部分图形为四边形时t的范围，再结合图4利用三角函数的知识用含t的代数式表示出DP和RE，然后根据梯形的面积公式解答即可；

（4）分H、D重合之前，如图5；H、D重合以后，D、H仍在BC边上，如图6；点D在AC边上、点H在BC边上，如图7共三种情况，先利用三角函数的知识用含t的代数式表示出DP边上的高HT的长，再根据矩形的面积是的面积的2倍即可列出关于t的方程，解方程即可求得结果．

解：（1）∵，PB=3t，

∴；

（2）在中，∵，，，∴，

当点落在边上时，如图1，在Rt△DPB中，，

∵四边形是矩形，∴EF=DP，

在Rt△AEF中，，

∵AE+EP+PB=5，

∴，解得：；

（3）当时，重合部分为四边形，由（2）题知：；

当C、D重合时，如图2，此时重合部分为四边形，，即，解得：，

当A、E两点重合时，如图3，此时重合部分为三角形，AP=，由AP+BP=5，得，解得：，

∴当时，如图4，，

∴；

∴当时，，当时，；

（4）①当H、D重合之前，由题意知CH=5t，，∴，

于是当时，过点H作HT⊥PD交PD延长线于点T，如图5，则，

若矩形的面积是的面积的2倍，则，

解得：，或t=0（舍去）；

②当H、D重合以后，D、H仍在BC边上，如图6，此时，，

若矩形的面积是的面积的2倍，则，

解得：，或t=0（舍去）；

③当点D在AC边上、点H在BC边上时，即，如图7，作HK⊥AB于点K，则，，

若矩形的面积是的面积的2倍，则，

即，解得：．

综上所述：若矩形的面积是的面积的2倍，t=或或．