Question

在Rt△ABC中，∠A=30°，∠A的平分线的长为1cm，那么△ABC的面积为

 

．

Answer 1

分析：过D点作DE⊥AB，垂足为E，利用互余关系可知Rt△BDE中∠BDE=30°，由30°的直角三角形的三边关系，设BD=2x，则BE=x，DE=

3

x，结合角平分线性质表示Rt△ACD的三边，由勾股定理求x²，再求S_△ABC．

解答：解：如图，过D点作DE⊥AB，垂足为E，
∵在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴∠B=90°-∠A=60°，
在Rt△BDE中，可知∠BDE=30°，设BD=2x，
则BE=x，DE=

3

x，
由角平分线性质，得CD=DE=

3

x，
∴BC=CD+BD=（

3

+2）x，
在Rt△ABC中，AC=

3

BC=（3+2

3

）x，
在Rt△ACD中，AD=1，由勾股定理，得
AC²+CD²=AD²，即[（3+2

3

）x]²+（

3

x）²=1²，
解得x²=

1

24+12 3

，
∴S_△ABC=

1

2

×AC×BC=

1

2

（3+2

3

）x•（

3

+2）x，
=

1

2

（3+2

3

）×（

3

+2）×

1

24+12 3

，
=

3+2 3

24

．
故本题答案为：

3+2 3

24

．

点评：本题考查了特殊直角三角形的三边关系，勾股定理的运用及三角形面积的计算方法．关键是根据特殊直角三角形的性质解题．