Question

如图，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R。
①求证：PB=PS；
②判断△SBR的形状；
③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）DE=8， ∴F（2，2）， ∴； （2）①设P（2a，a2+1）， 则PS=a2+1， 又， ∴ ∴PB=PS； ②同理，QB=QR， ∴， 同理，， ∴∠QBR+∠PBS=90°， ∴∠RBS=90°， △SBR是直角三角形； ③设P（2a，a2+1）， 由B（0，2）， 又RS=， 假设存在M，使对应三角形相似，则 是RS中点， 与原点O重合， ∴存在点M，是对应三角形相似， 此时，M是RS中点或M与点O重合。