Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=8，CB=6，动点P从C出发沿CA方向，以每秒1个单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原来速度沿AC返回；同时动点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长度向点B匀速运动，当Q到达B时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．

（1）当t为何值时，PQ∥CB？

（2）在点P从C向A运动的过程中，在CB上是否存在点E使△CEP与△PQA全等？若存在，求出CE的长；若不存在，请说明理由；

（3）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB﹣BC﹣CP于点F．当DF经过点C时，求出t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）5和10.

【解析】试题分析：（1）根据勾股定理求出AB，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可；

（2）根据全等三角形的性质得到∠PQA=90°，根据相似三角形的性质求出PE，根据勾股定理计算；

（3）分P由C向A运动和P由A向C运动两种情况，根据线段垂直平分线的性质、相似三角形的性质计算．

解：（1）如图1，

CP=AQ=t，则AP=8－t，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB=10，

由PQ∥CB可得，即，

解得t=，所以当t=时，PQ∥CB .

（2）存在，如图2，

由题意可知CP=AQ=t，又∵∠PCE =90°，要使△CEP与△PQA全等，

只有∠PQA=90°，

这一种情况，此时CE=PQ，PE= AP，由△PQA∽△BCA可得，

即，解得t=，

则PE=8－t=，在Rt△PCE中，由勾股定理可得CE=；

(或由△PCE∽△ACB得，即，解得CE=）

（3）①当P由C向A运动时，CQ=CP=AQ=t，可得∠QCA=∠QAC，

所以∠QCB=∠QBC，所以CQ=BQ=t，所以BQ=AQ=AB，

即AB=2t，解得t=5；

②如图3，

当P由A向C运动时，过Q作QG⊥CB交CB于点G，

CQ=CP=16－t，BQ=10－t，则，即，所以GQ=（10－t），

同理可求得BG=（10－t），所以GC=6－（10－t），

在Rt△CGQ中，由勾股定理可得：CG2+GQ2=CQ2，

即[6﹣（10－t）]2+[（10－t）]2=（16－t）2，解得t=10.

综上可知满足条件的t的值为5和10．